Развернуть кризис: чему геометрия учит гаитянскую экономику

Рубен Луи – гаитянец, математик; он публикуется в журналах, которые почти ни один экономист не откроет. Объекты его исследований носят названия, от которых хочется закрыть страницу: алгеброиды Ли, сингулярные слоения, раздутие Нэша. Первое побуждение – решить, что нас это не касается. Я убеждён в обратном. Эти работы на очень чистом языке ставят тот самый вопрос, который гаитянская экономика задаёт нам каждый день: что делать, когда обычный инструмент перестаёт работать именно там, где нам нужно?

Текст продвигается в четыре этапа. Сначала он напоминает, что любое экономическое рассуждение в предельных величинах – это, хотя так его и не называют, рассуждение геометра. Затем определяет особую точку и показывает, какие её черты несёт Гаити. Далее излагает идею Нэша: не бежать от этой точки, а раскрыть её. Наконец, переводит на язык экономики два смежных понятия, слой и якорь, а затем предлагает три фронта работ тем, кому двадцать пять лет и у кого в кармане диплом экономиста.

Экономист – геометр, сам того не подозревая

Возьмите любую фразу из профессионального обихода. «Повышение ключевой ставки на один процентный пункт сокращает кредитование на столько-то». «Эластичность импорта по валютному курсу составляет столько-то». «Предельная склонность к потреблению равна 0,8». Каждая из этих фраз утверждает одно и то же: вблизи точки, в которой находится экономика, связь между двумя величинами похожа на прямую, и можно измерить её наклон.

Это в точности определение гладкой кривой. Кривая гладкая, если при достаточном увеличении окрестности любой её точки она в конце концов сливается с прямой – своей касательной. Для поверхности увеличение даёт плоскость – касательную плоскость. Производная, эластичность, мультипликатор – всё это касательные. Весь предельный анализ держится на негласном допущении, что увеличение срабатывает.

Однажды экономисты уже посмотрели этому допущению в лицо. В 1970 году Жерар Дебрё публикует в журнале Econometrica статью, где отделяет «регулярные» экономики, в которых равновесий конечное число и они чинно реагируют на малые шоки, от «критических», где это примерное поведение утрачивается. Инструмент он взял из дифференциальной топологии. Вывод оказался успокаивающим: критические экономики редки, их вес во множестве всех возможных экономик пренебрежимо мал. Профессия вывела отсюда долговременное разрешение – заниматься только регулярным случаем.

Редкое не значит несуществующее. А когда живёшь внутри редкого случая, это разрешение ничего не стоит.

Точка, где увеличение бессильно

Особая точка – это точка, в которой увеличение уже не даёт единственной прямой. Кривая образует в ней складку, острие или самопересечение. Увеличивать можно сколько угодно: складка остаётся складкой. Касательную здесь не то что трудно вычислить – её просто нет.

Переведём. Сказать, что экономика находится в особой точке, – значит сказать, что у вопроса «каков предельный эффект такой-то меры?» нет единственного ответа, потому что ответ зависит от того, с какой стороны к этой точке подходить.

Гаити несёт на себе эти отметины, и у каждой есть дата. В 2025 году реальный ВВП сократился седьмой год подряд – на 2,7%, причём спад затронул все секторы. Семь лет подряд – это уже не цикл вокруг тренда, а траектория, покинувшая область, где модели цикла имеют смысл. Государственные доходы упали до 4,8% ВВП: на таком уровне эластичность доходов по экономической активности, которую в других странах спокойно оценивают, меняет свою природу в зависимости от того, находится ли активность в зоне, где государство ещё собирает поступления, или в зоне, где оно не собирает уже ничего. В сентябре 2025 года было зарегистрировано более 1,4 млн внутренне перемещённых лиц – втрое больше, чем в декабре 2023 года. МВФ, со своей стороны, отмечает, что финансовое посредничество продолжает ослабевать, а это значит, что канал, через который должна действовать ключевая ставка, сужается у нас на глазах.

В этих условиях оценивать «единый» бюджетный мультипликатор Гаити или «единую» трансмиссию денежно-кредитной политики – всё равно что искать касательную на вершине складки. Число получится: программа всегда его выдаёт. Это число будет средним из наклонов, не имеющих между собой ничего общего, и не опишет никакой реальности.

Что Нэш предлагает сделать со сломанной точкой

Идея носит имя Джона Нэша – того самого, кто дал экономистам их понятие равновесия. Она удивляет своей простотой.

Точка S особая, но окружающие её точки вполне регулярны. У каждой есть своя касательная. Возьмём же последовательность регулярных точек, стремящуюся к S, и посмотрим, что происходит с их касательными. Они сходятся к некоторому предельному положению. Только в зависимости от пути приближения предел получается разным. Подходя к складке слева, получаем одну прямую; справа – другую.

Нэш предлагает заменить точку S множеством всех этих пределов. Там, где была одна нечитаемая точка, появляется столько точек, сколько есть способов к ней прийти. Каждая из этих новых точек несёт свою, вполне определённую касательную. Это и есть раздутие Нэша: особенность не чинят, её разворачивают.

Для экономиста урок сводится к правилу метода. Имея дело с экономикой в особой точке, нужно перестать спрашивать об одном параметре и начать спрашивать о семействе параметров, индексированном путями приближения. Как кредит реагирует на ключевую ставку в формальном банковском сегменте Петьонвиля? В кредитных кооперативах Севера? В кварталах, где больше не открывается ни одно отделение банка? Какой была эта реакция в 2018 году, до череды спадов, и какова она сегодня? У каждого из этих вопросов есть собственный ответ, поддающийся оценке, потому что он относится к регулярной зоне. Совокупность этих ответов, а не их среднее, и есть верное описание страны.

В эконометрике уже есть инструменты, которые движутся в этом направлении: пороговые модели, модели с переключением режимов, квантильные регрессии. Чаще всего их применяют как уточнения, чтобы проверить устойчивость центрального результата. Геометрия особенностей говорит другое: в особом случае центрального результата не существует, и эти инструменты становятся самим анализом.

Слои, где движутся, и слои, где уже не сдвинуться с места

Второе понятие – слоение. Слоение разбивает пространство на подпространства, называемые слоями, так что любое допустимое перемещение происходит внутри одного слоя. Наглядный образ – слоёный пирог: скользить можно вдоль слоя, но не перепрыгивать с одного на другой. В регулярном слоении все слои имеют одну и ту же размерность, то есть одинаковое число направлений движения. Слоение сингулярно, когда эта размерность меняется от слоя к слою. Классический пример – вращение плоскости вокруг центра: каждая точка вращается по своей окружности, то есть по слою размерности один, кроме центра, который никуда не движется и образует слой размерности ноль.

Прочтём теперь экономику как слоение. Слой агента – это множество ситуаций, которых он может достичь собственными решениями: сменить поставщика, перевезти товар, взять в долг, обменять свои гурды, отдать ребёнка в школу в другом месте. Размерность слоя – это число таких возможностей для манёвра, которые реально открыты. Учебники исходят из регулярного слоения: у всех агентов одни и те же направления движения, различаются лишь их бюджеты.

Гаити – сингулярное слоение в строгом смысле слова. Формальное предприятие столичной агломерации, обслуживаемое банком, работающее в долларах, связанное с портом, живёт на слое большой размерности. Торговка, у которой перерезан путь снабжения и нет ни счёта, ни доступа к кредиту, живёт на слое, почти стянутом в точку. Эти 1,4 млн перемещённых лиц потеряли не только доход – они потеряли размерности. Здесь-то понятие и становится полезным: политика, действующая вдоль слоёв (снижение ставки, субсидия, налоговая льгота), не оказывает никакого воздействия на слой размерности ноль, поскольку у агента нет ни одного направления, в котором он мог бы откликнуться. Многие меры, которые в Гаити считают «неэффективными», вовсе не плохо продуманы. Они продуманы для слоёв, на которых половина агентов не живёт.

Бедность, измеряемая в гурдах в день, фиксирует положение на слое. Размерность слоя не измеряет никто.

Мотор работает, а машина не едет

Остаётся алгеброид Ли. Слово пугает, но идея умещается в автомобиле.

Сидя за рулём, вы располагаете командами: повернуть, разогнаться, затормозить, дать задний ход. Первое наблюдение, которое любой ребёнок делал, не облекая его в слова: порядок имеет значение. Десять метров вперёд, а затем поворот налево приведут вас не туда же, куда поворот налево, а затем десять метров вперёд. Алгебра Ли – ровно это, и ничего больше: список доступных команд вместе с правилом, которое измеряет расхождение между «сделать A, затем B» и «сделать B, затем A».

Второе наблюдение. Команды срабатывают не везде одинаково. На сухом асфальте каждое движение руля даёт поворот. В грязи вы крутите руль, а машина продолжает ехать прямо. В колее вы жмёте на газ, а колёса буксуют. Приборная панель та же, но то, что она позволяет, меняется в зависимости от того, где вы находитесь. Алгеброид Ли – это приборная панель такого рода: набор команд, привязанный к каждой точке местности и меняющийся вместе с местностью.

Третья деталь, самая важная: то, что связывает команду с колесом. В автомобиле это сцепление и трансмиссия. Математики называют это якорем (якорным отображением): механизм, который превращает команду в реальное перемещение. Когда сцепление изношено, мотор ревёт, бензин горит, стрелка тахометра ползёт вверх, а машина стоит на месте. Работает всё, кроме связи с дорогой. У этой работы вхолостую, которая ничего не сдвигает с места, есть название – ядро якоря. В особых точках оно разрастается: всё больше команд, всё меньше движения.

Результат, который Рубен Луи опубликовал в журнале Mathematische Zeitschrift в 2025 году, сводится к следующему. В особой точке то, что буксует, и то, что тянет, перепутаны, и уже не понять, какая деталь что делает. После раздутия типа Нэша капот открывается, и детали раскладываются по двум отдельным ящикам. В первом – всё, что крутится само по себе, не касаясь колёс. Во втором – всё, что действительно тянет, там, где почти всюду оборот мотора даёт оборот колеса. Автор сам ставит вопрос: можно ли в алгеброиде отделить чисто внутреннюю часть от той, что действует на местности? Если точку развернуть, то да.

Заменим теперь автомобиль государством. Это перенос, а не теорема экономической науки, но он проясняет дело. Команды – это ключевая ставка, принятый бюджет, таможенный тариф, декрет. Якорь – это всё, что связывает эти команды с происходящим на местах: банки, которые транслируют ставку, казначеи, которые выплачивают средства, таможенники, которые взимают пошлины, дорога, по которой решение доходит до места.

Центральный банк поворачивает руль ключевой ставки. Там, где банковский кредит питает экономическую активность, экономика входит в поворот. Там, где никто не берёт в долг у банка, руль крутится впустую. Принятый бюджет – это команда; сумма, реально выплаченная в коммуне, – это движение; между ними – сцепление. Таможенный тариф на бумаге существует в каждой точке границы, а поступления – только там, где государство удерживает пост. Государственные доходы, упавшие до 4,8% ВВП, – это бухгалтерский замер пробуксовывающего сцепления.

И порядок, как и за рулём, имеет значение. Сначала вновь открыть дорогу, потом субсидировать удобрения: удобрения доходят до поля. Сначала субсидировать, потом открыть дорогу: субсидия теряется в пути ещё до того, как появилась дорога. Те же меры, те же затраты, другой результат. Расхождение между двумя порядками математики называют скобкой Ли. Экономисты называют его очерёдностью реформ и обычно считают делом здравого смысла, хотя у него есть структура, которую можно изучать.

Отсюда дисциплина анализа по принципу двух ящиков. Для каждого института складывать в один ящик то, что крутится само по себе: циркуляры, комитеты, планы, пересмотры планов – всё согласованное между собой и никак не сказывающееся на местах. В другой – то, что приводит что-либо в движение: собранные поступления, выданный кредит, растаможенный контейнер, вновь открытую дорогу. И судить о реформе только по второму ящику. Страна может производить много решений и очень мало движения. Шум мотора никогда не был доказательством скорости.

Три фронта работ для тех, кому двадцать пять

Первый – эконометрический. Пересмотреть основные соотношения гаитянской макроэкономики (денежно-кредитную трансмиссию, эластичность доходов, влияние денежных переводов диаспоры на потребление) и оценить их по путям приближения: по территориям, по сегментам, по периодам, рассматривая разброс результатов как сам результат. Данные Банка Республики Гаити (BRH, центральный банк), Гаитянского института статистики и информатики (IHSI) и обследований домохозяйств отчасти это позволяют. Такая задача по силам выпускной работе бакалавра.

Второй – работа по измерению. Построить индикатор размерности слоя: сколько возможностей для манёвра реально открыто у домохозяйства или предприятия? Физический доступ к рынку, к отделению банка, к проезжей дороге, ко второй валюте, ко второму поставщику. Такой индикатор заранее показывал бы, где стимулирующая политика может зацепиться, а где сначала нужно вновь открыть размерности, – а это совсем другой вид расходов.

Третий – институциональный и скромнее, чем кажется. Общий семинар гаитянских математиков и экономистов, живущих здесь или в диаспоре, где первые излагали бы свои объекты, ничего не упрощая, а вторые приносили бы свои данные. Дебрё не изобретал дифференциальную топологию – он пошёл за ней к тем, кто ею занимался. Зиман в 1974 году проделал обратный путь, применив теорию катастроф Рене Тома к биржевым крахам. Такие переходы всегда были делом нескольких людей, которые соглашались год-другой понимать не всё.

Выйти из регистра чуда

Регулярные экономики – это те, где хватает простого инструмента, потому что касательная там существует и любая регрессия её находит. Самой тонкой математики требуют как раз особые случаи – по вполне конкретной причине: линейная аппроксимация там неверна. Поэтому стране, обосновавшейся на складке, математики нужны больше, чем процветающей, и именно она отводит им меньше всего места. Исправить это – задача политики, а не личного призвания.

Начинается она в школе. Математику там преподают как заучивание – формулы, которые нужно воспроизвести на выпускном экзамене, – и ученику ни разу не приходится описать с их помощью то, что он знает: цену риса на рынке от недели к неделе, расход воды в овраге после дождя, скорость, с которой слух обходит квартал. Ввести моделирование уже в средней школе, готовить в Высшей нормальной школе учителей, которые будут его преподавать, учредить национальные олимпиады, чтобы у лучших учеников был повод не уходить из математики, – ничто из этого не стоит столько, сколько стоит поколение, для которого математика – испытание, а не язык.

Затем нужно место. Бразилия основала свой Институт чистой и прикладной математики в 1952 году, когда была бедной аграрной страной; в 2014 году математик, защитивший там диссертацию, Артур Авила, получил Филдсовскую премию. Африканский институт математических наук, созданный в Кейптауне в 2003 году, с тех пор открыл центры, в частности, в Сенегале, Гане, Камеруне и Руанде. Гаити может построить свой вариант по собственной мерке: Гаитянский институт прикладной математики при университете, дюжина постоянных исследователей, гостевые профессорские ставки для математиков из диаспоры, магистратура и диссертации под совместным руководством. И с одним основополагающим правилом: каждая исследовательская программа привязана к национальной проблеме – денежному обращению, паводкам, эпидемиям, энергосетям, перемещениям населения.

Институт сам по себе работал бы на зарубежные журналы. Ему нужны каналы, ведущие к принятию решений. Пусть центральный банк, министерства финансов, окружающей среды, здравоохранения заказывают ему исследования. Пусть каждый закон о бюджете и каждая крупная реформа сопровождаются опубликованной количественной оценкой последствий, которую институт может перепроверить. Пусть данные IHSI и ведомств будут открыты для исследователей. Пусть молодые исследователи, только что защитившие диссертацию, проводят год в министерстве, а сотрудники министерств – год в институте. Именно по таким обычным трубам результат уходит из журнала и попадает туда, где принимаются решения.

Остаётся самое трудное, и дело тут не в бюджете и не в науке. В гаитянской публичной речи инфляция – проклятие, безопасность – чудо, которого ждут, а восстановление – дело человека, посланного провидением, или силы, пришедшей извне. В личной жизни каждого этот регистр имеет своё достоинство. В применении к государственным делам он оборачивается оцепенением: он избавляет от необходимости искать механизм, а значит, называть решение, которое к этому привело, а значит, требовать другого. Математика в этой конкретной области – прямая противоположность. Она приучает спрашивать: сколько, по сравнению с чем, в силу какой цепочки, – и считать утверждение ложным, пока оно не доказано. Народ, у которого появилась такая привычка, не так легко отдаёт себя во власть фатальности.

То, что гаитянец работает на переднем крае геометрии особенностей, доказывает: сырьё есть. Остаётся решиться сделать из этого политику. Знать, что происходит с наклоном при приближении к складке, – значит знать, какой вопрос задавать. Построить места, где этот вопрос будут задавать каждый день, – значит начать уходить со складки.