Déplier la crise : ce que la géométrie enseigne à l’économie haïtienne

Ruben Louis est haïtien, mathématicien, et publie dans des revues que presque aucun économiste n’ouvrira. Ses objets portent des noms qui font refermer la page : algébroïdes de Lie, feuilletages singuliers, éclatement de Nash. Le réflexe est de conclure que cela ne nous regarde pas. Je crois l’inverse. Ces travaux posent, dans un langage très pur, la question que l’économie haïtienne nous pose tous les jours : que fait-on quand l’outil ordinaire cesse de fonctionner précisément à l’endroit qui nous intéresse ?

Le texte avance en quatre temps. Il rappelle d’abord que tout raisonnement économique à la marge est, sans le dire, un raisonnement de géomètre. Il définit ensuite le point singulier et montre en quoi Haïti en porte les traits. Il expose l’idée de Nash, qui consiste à ne pas fuir ce point mais à l’ouvrir. Il traduit enfin deux notions voisines, la feuille et l’ancre, avant de proposer trois chantiers à ceux qui ont vingt-cinq ans et un diplôme d’économie en poche.

L’économiste, géomètre sans le savoir

Prenez n’importe quelle phrase du métier. « Une hausse d’un point du taux directeur réduit le crédit de tant. » « L’élasticité des importations au taux de change vaut tant. » « La propension marginale à consommer est de 0,8. » Chacune de ces phrases affirme la même chose : autour du point où se trouve l’économie, la relation entre deux grandeurs ressemble à une droite, et l’on peut en mesurer la pente.

C’est exactement la définition d’une courbe lisse. Une courbe est lisse quand, en zoomant assez sur l’un de ses points, elle finit par se confondre avec une droite, sa tangente. Pour une surface, le zoom donne un plan, le plan tangent. La dérivée, l’élasticité, le multiplicateur sont des tangentes. Toute l’analyse marginale repose sur l’hypothèse silencieuse que le zoom réussit.

Les économistes ont déjà regardé cette hypothèse en face, une fois. En 1970, Gérard Debreu publie dans Econometrica un article où il distingue les économies « régulières », celles où les équilibres sont en nombre fini et réagissent sagement aux petits chocs, des économies « critiques », où ce bon comportement se perd. Son outil venait de la topologie différentielle. La conclusion fut rassurante : les économies critiques sont rares, d’un poids négligeable dans l’ensemble des économies possibles. La profession en a tiré une permission durable, celle de ne s’occuper que du cas régulier.

Rare ne veut pas dire inexistant. Et quand on habite le cas rare, la permission ne vaut plus rien.

Le point où le zoom échoue

Un point singulier est un point où le zoom ne donne plus une droite unique. La courbe y fait un pli, une pointe ou un croisement. On peut zoomer autant qu’on veut : le pli reste un pli. La tangente n’y est pas difficile à calculer, elle n’existe pas.

Traduisons. Dire qu’une économie se trouve en un point singulier, c’est dire que la question « quel est l’effet marginal de telle mesure ? » n’a pas de réponse unique, parce que la réponse dépend du côté par lequel on arrive.

Haïti en porte les marques, et elles sont datées. Le PIB réel a reculé pour la septième année consécutive en 2025, de 2,7 %, avec un déclin dans tous les secteurs. Sept années de suite, ce n’est plus un cycle autour d’une tendance, c’est une trajectoire qui a quitté la zone où les modèles de cycle ont un sens. Les recettes publiques sont tombées à 4,8 % du PIB : à ce niveau, l’élasticité des recettes à l’activité, que l’on estime tranquillement ailleurs, change de nature selon que l’activité se situe dans une zone où l’État perçoit encore ou dans une zone où il ne perçoit plus rien. Plus de 1,4 million de déplacés internes étaient recensés en septembre 2025, trois fois plus qu’en décembre 2023. Le FMI relève de son côté que l’intermédiation financière continue de s’affaiblir, ce qui signifie que le canal par lequel un taux directeur est censé agir se rétrécit sous nos yeux.

Dans ces conditions, estimer « le » multiplicateur budgétaire haïtien ou « la » transmission de la politique monétaire revient à chercher la tangente au sommet du pli. On obtiendra un chiffre, le logiciel en rend toujours un. Ce chiffre sera une moyenne entre des pentes qui n’ont rien à voir entre elles, et ne décrira aucune réalité.

Ce que Nash propose de faire d’un point cassé

L’idée porte le nom de John Nash, le même qui a donné aux économistes leur notion d’équilibre. Elle est d’une simplicité qui surprend.

Le point S est singulier, mais les points qui l’entourent sont parfaitement réguliers. Chacun possède sa tangente. Faisons donc approcher S par une suite de points réguliers, et regardons ce que deviennent leurs tangentes. Elles convergent vers une position limite. Seulement, selon le chemin d’approche, la limite n’est pas la même. Par la gauche du pli, on obtient une droite ; par la droite, une autre.

Nash propose de remplacer le point S par l’ensemble de toutes ces limites. Là où il y avait un point unique et illisible, on installe autant de points qu’il y a de façons d’arriver. Chacun de ces nouveaux points porte sa tangente, bien définie. C’est cela, l’éclatement de Nash : on ne répare pas la singularité, on la déplie.

Pour l’économiste, la leçon est une règle de méthode. Devant une économie singulière, il faut cesser de demander un paramètre et commencer à demander une famille de paramètres, indexée par les chemins d’approche. Quelle est la réponse du crédit au taux directeur dans le segment bancaire formel de Pétion-Ville ? Dans les caisses populaires du Nord ? Dans les quartiers où aucune agence n’ouvre plus ? Quelle était-elle en 2018, avant la série de contractions, et que vaut-elle aujourd’hui ? Chacune de ces questions a une réponse propre, estimable, parce qu’elle porte sur une zone régulière. La collection de ces réponses, et non leur moyenne, est la description correcte du pays.

L’économétrie possède déjà des instruments qui vont dans ce sens : modèles à seuil, changements de régime, régressions par quantiles. On les emploie le plus souvent comme des raffinements, pour vérifier la robustesse d’un résultat central. La géométrie des singularités dit autre chose : dans le cas singulier, le résultat central n’existe pas, et ces instruments deviennent l’analyse elle-même.

Des feuilles où l’on circule, d’autres où l’on ne bouge plus

Deuxième notion, le feuilletage. Un feuilletage découpe un espace en sous-espaces appelés feuilles, de telle sorte que tout déplacement permis se fasse à l’intérieur d’une feuille. Un millefeuille en donne l’image : on glisse le long d’une couche, on ne saute pas de l’une à l’autre. Dans un feuilletage régulier, toutes les feuilles ont la même dimension, c’est-à-dire le même nombre de directions de mouvement. Un feuilletage est singulier quand cette dimension varie d’une feuille à l’autre. L’exemple classique est la rotation du plan autour d’un centre : tout point tourne sur son cercle, feuille de dimension un, sauf le centre, qui ne va nulle part, feuille de dimension zéro.

Lisons maintenant une économie comme un feuilletage. La feuille d’un agent, c’est l’ensemble des situations qu’il peut atteindre par ses propres décisions : changer de fournisseur, déplacer sa marchandise, emprunter, convertir ses gourdes, scolariser un enfant ailleurs. La dimension de la feuille est le nombre de ces marges de manœuvre réellement ouvertes. Les manuels supposent un feuilletage régulier : tous les agents disposent des mêmes directions de mouvement, seuls leurs budgets diffèrent.

Haïti est un feuilletage singulier au sens strict du terme. Une entreprise formelle de la zone métropolitaine, bancarisée, dollarisée, reliée au port, vit sur une feuille de grande dimension. Une marchande dont la route d’approvisionnement est coupée, qui n’a ni compte ni accès au crédit, vit sur une feuille presque réduite à un point. Les 1,4 million de déplacés n’ont pas seulement perdu un revenu, ils ont perdu des dimensions. Et c’est là que le concept devient utile : une politique qui agit le long des feuilles (une baisse de taux, une subvention, une exonération) ne produit aucun effet sur une feuille de dimension zéro, puisque l’agent n’a aucune direction dans laquelle répondre. Beaucoup de mesures jugées « inefficaces » en Haïti ne sont pas mal conçues. Elles sont conçues pour des feuilles que la moitié des agents n’habitent pas.

La pauvreté mesurée en gourdes par jour saisit la position sur la feuille. La dimension de la feuille, personne ne la mesure.

Le moteur tourne, la voiture n’avance pas

Reste l’algébroïde de Lie. Le mot fait peur, l’idée tient dans une voiture.

Assis au volant, vous disposez de commandes : tourner, accélérer, freiner, reculer. Première remarque, que tout enfant a faite sans la formuler : l’ordre compte. Avancer de dix mètres puis tourner à gauche ne vous mène pas au même endroit que tourner à gauche puis avancer de dix mètres. Une algèbre de Lie, c’est cela et rien de plus : la liste des commandes disponibles, accompagnée d’une règle qui mesure l’écart entre « faire A puis B » et « faire B puis A ».

Deuxième remarque. Les commandes ne répondent pas de la même façon partout. Sur l’asphalte sec, chaque coup de volant donne un virage. Dans la boue, vous tournez le volant et la voiture continue tout droit. Dans l’ornière, vous accélérez et les roues patinent. Le tableau de bord est le même, mais ce qu’il permet change selon l’endroit où l’on se trouve. Un algébroïde de Lie est un tableau de bord de ce genre : un jeu de commandes attaché à chaque point du terrain, et qui varie avec le terrain.

Troisième pièce, la plus importante : ce qui relie la commande à la roue. Dans une voiture, c’est l’embrayage et la transmission. Les mathématiciens l’appellent l’ancre : le mécanisme qui transforme une commande en déplacement réel. Quand l’embrayage est usé, le moteur rugit, l’essence brûle, l’aiguille du compte-tours grimpe, et la voiture reste sur place. Tout fonctionne, sauf le lien avec le sol. Cette activité qui tourne sans rien déplacer a un nom, le noyau de l’ancre. Aux points singuliers, il grossit : de plus en plus de commandes, de moins en moins de mouvement.

Le résultat que Ruben Louis a publié dans Mathematische Zeitschrift en 2025 revient à ceci. Au point singulier, ce qui patine et ce qui entraîne sont emmêlés, et l’on ne sait plus quelle pièce fait quoi. Après un éclatement de type Nash, le capot s’ouvre et les pièces se rangent en deux caisses distinctes. Dans la première, tout ce qui tourne sur soi-même sans toucher aux roues. Dans la seconde, tout ce qui entraîne vraiment, là où, presque partout, un tour de moteur donne un tour de roue. L’auteur pose lui-même la question : peut-on séparer, dans un algébroïde, la part purement interne de la part qui agit sur le terrain ? Une fois le point déplié, oui.

Remplaçons maintenant la voiture par l’État. C’est une transposition, pas un théorème d’économie, mais elle éclaire. Les commandes, ce sont le taux directeur, le budget voté, le tarif douanier, le décret. L’ancre, c’est tout ce qui relie ces commandes au terrain : les banques qui répercutent le taux, les comptables publics qui décaissent, les douaniers qui perçoivent, la route par laquelle la décision arrive.

La banque centrale tourne le volant du taux directeur. Là où le crédit bancaire irrigue l’activité, l’économie vire. Là où personne n’emprunte à une banque, le volant tourne dans le vide. Un budget voté est une commande ; la somme effectivement décaissée dans une commune est un mouvement ; entre les deux, il y a l’embrayage. Le tarif douanier existe sur le papier en chaque point de la frontière, la recette n’existe que là où l’État tient le poste. Des recettes publiques tombées à 4,8 % du PIB sont la mesure comptable d’un embrayage qui patine.

Et l’ordre compte, comme au volant. Rouvrir une route puis subventionner l’engrais : l’engrais arrive au champ. Subventionner d’abord, rouvrir ensuite : la subvention s’est perdue en chemin avant que la route existe. Mêmes mesures, même coût, résultat différent. L’écart entre les deux ordres, les mathématiciens l’appellent le crochet. Les économistes l’appellent le séquençage des réformes et le traitent d’ordinaire comme une affaire de bon sens, alors qu’il possède une structure qu’on peut étudier.

D’où une discipline d’analyse en deux caisses. Pour chaque institution, ranger d’un côté ce qui tourne sur soi : circulaires, comités, plans, révisions de plans, tous cohérents entre eux, sans effet sur le terrain. De l’autre, ce qui déplace quelque chose : une recette perçue, un crédit décaissé, un conteneur dédouané, une route rouverte. Puis juger une réforme sur la seconde caisse seulement. Un pays peut produire beaucoup de décisions et très peu de mouvement. Le bruit du moteur n’a jamais été une preuve de vitesse.

Trois chantiers pour qui a vingt-cinq ans

Le premier est économétrique. Reprendre les grandes relations de la macroéconomie haïtienne (transmission monétaire, élasticité des recettes, effet des transferts de la diaspora sur la consommation) et les estimer par chemin d’approche : par territoire, par segment, par période, en traitant la dispersion des résultats comme le résultat. Les données de la BRH, de l’IHSI et des enquêtes auprès des ménages le permettent en partie. Un mémoire de licence peut s’y attaquer.

Le deuxième est un travail de mesure. Construire un indicateur de dimension de feuille : pour un ménage ou une entreprise, combien de marges de manœuvre sont réellement ouvertes ? Accès physique à un marché, à une agence, à une route praticable, à une deuxième monnaie, à un deuxième fournisseur. Cet indicateur dirait d’avance où une politique d’incitation peut mordre et où il faut d’abord rouvrir des dimensions, ce qui est un tout autre type de dépense.

Le troisième est institutionnel et plus modeste qu’il n’y paraît. Un séminaire commun entre mathématiciens et économistes haïtiens, d’ici ou de la diaspora, où les premiers exposeraient leurs objets sans rien simplifier et où les seconds apporteraient leurs données. Debreu n’a pas inventé la topologie différentielle, il est allé la chercher chez ceux qui la faisaient. Zeeman, en 1974, a fait le trajet inverse en appliquant la théorie des catastrophes de René Thom aux krachs boursiers. Ces passages ont toujours été l’œuvre de quelques personnes qui ont accepté de ne pas tout comprendre pendant un an ou deux.

Sortir du registre du miracle

Les économies régulières sont celles où l’outil simple suffit, parce que la tangente y existe et que n’importe quelle régression la trouve. Ce sont les cas singuliers qui réclament la mathématique la plus fine, pour la raison très concrète que l’approximation linéaire y est fausse. Un pays installé sur le pli a donc davantage besoin de mathématiciens qu’un pays prospère, et c’est lui qui leur fait le moins de place. Corriger cela relève d’une politique, pas d’une vocation individuelle.

Elle commence à l’école. Les mathématiques y sont enseignées comme une récitation, des formules à restituer le jour du baccalauréat, sans que l’élève ait jamais eu à décrire avec elles une chose qu’il connaît : le prix du riz au marché d’une semaine à l’autre, le débit d’une ravine après la pluie, la vitesse à laquelle une rumeur traverse un quartier. Introduire la modélisation dès le secondaire, former les maîtres à l’École normale supérieure pour qu’ils l’enseignent, installer des concours nationaux qui donnent aux meilleurs élèves une raison de rester dans la discipline : rien de cela ne coûte ce que coûte une génération qui tient les mathématiques pour une épreuve et non pour un langage.

Il faut ensuite un lieu. Le Brésil a fondé son Institut de mathématiques pures et appliquées en 1952, quand il était un pays agraire et pauvre ; en 2014, un mathématicien qui y avait fait sa thèse, Artur Avila, recevait la médaille Fields. L’Institut africain des sciences mathématiques, ouvert au Cap en 2003, a essaimé depuis au Sénégal, au Ghana, au Cameroun et au Rwanda notamment. Haïti peut bâtir une version à sa mesure : un Institut haïtien de mathématiques appliquées adossé à l’université, une douzaine de chercheurs permanents, des chaires d’accueil pour les mathématiciens de la diaspora, un master et des thèses en cotutelle. Avec une règle fondatrice : chaque programme de recherche est attaché à une question nationale, la monnaie, les crues, les épidémies, les réseaux d’énergie, les déplacements de population.

Un institut seul publierait pour l’étranger. Il lui faut des canaux vers la décision. Que la banque centrale, les Finances, l’Environnement, la Santé lui passent des commandes d’étude. Que toute loi de finances et toute réforme d’ampleur soient accompagnées d’une note d’impact chiffrée, publiée, que l’institut peut contre-expertiser. Que les données de l’IHSI et des administrations soient ouvertes aux chercheurs. Que de jeunes docteurs passent une année en résidence dans un ministère, et des cadres de ministère une année à l’institut. C’est par ces tuyaux ordinaires qu’un résultat quitte la revue et entre dans un arbitrage.

Reste le plus difficile, qui n’est ni budgétaire ni académique. Dans la parole publique haïtienne, l’inflation est une malédiction, la sécurité un miracle qu’on attend, le redressement l’affaire d’un homme providentiel ou d’une force venue d’ailleurs. Ce registre a sa dignité dans la vie intime de chacun. Appliqué aux affaires de l’État, il est une torpeur : il dispense de chercher le mécanisme, donc de désigner la décision qui l’a produit, donc d’en exiger une autre. Les mathématiques sont, dans ce domaine précis, l’exact contraire. Elles habituent à demander combien, par rapport à quoi, par quel enchaînement, et à tenir une affirmation pour fausse tant qu’elle n’est pas démontrée. Un peuple qui a pris cette habitude se laisse moins facilement gouverner par la fatalité.

Qu’un Haïtien travaille à la frontière de la géométrie des singularités prouve que la matière première existe. Il reste à décider d’en faire une politique. Savoir ce que devient une pente quand on approche du pli, c’est savoir quelle question poser. Bâtir les lieux où cette question sera posée chaque jour, c’est commencer à quitter le pli.