La aguja de Kakeya: lo que una Medalla Fields puede decirle a la economía haitiana

La matemática Hong Wang recibió el 23 de julio, en Filadelfia, la Medalla Fields, en particular por los trabajos que la llevaron, junto con Joshua Zahl, a resolver la conjetura de Kakeya en el espacio de tres dimensiones. Bajo su apariencia de rompecabezas, este resultado encierra una idea que concierne directamente a las pequeñas economías: se puede comprimir el tamaño de un sistema, nunca su estructura.

Una vieja pregunta de economistas

La economía política arrastra desde sus orígenes una cuestión de tamaño. Adam Smith ya señalaba que la división del trabajo está limitada por la extensión del mercado. Los teóricos del desarrollo de las décadas de 1940 y 1950, de Paul Rosenstein-Rodan a Ragnar Nurkse, construyeron sobre esa idea: un mercado interno estrecho frenaría la industrialización, por falta de salidas comerciales suficientes, y fue pensando en las Antillas como W. Arthur Lewis, futuro premio Nobel, planteaba ya en 1950 la cuestión de la industrialización de las economías muy pequeñas. El análisis económico haitiano conserva su huella: Gérard Pierre-Charles dedicaba, en La economía haitiana y su vía de desarrollo, varias páginas a la estrechez del mercado local. La globalización aportó la réplica clásica: en una economía abierta, un país no produce solo para su mercado, produce para el mundo, y el tamaño interno deja de ser una fatalidad. La objeción es sólida. Sin embargo, desplaza la pregunta más de lo que la cierra: si el tamaño no es la restricción decisiva, ¿cuál lo es? Es precisamente una pregunta de esa forma, planteada en el lenguaje de la geometría, la que acaba de valerle a una joven la más alta distinción de las matemáticas.

Una aguja, un siglo, una mujer

El 23 de julio de 2026, en el Congreso Internacional de Matemáticos reunido en Filadelfia, la china Hong Wang, de treinta y cinco años, recibió la Medalla Fields, que se concede cada cuatro años a investigadores menores de cuarenta años. Es la tercera mujer en recibirla, después de Maryam Mirzakhani en 2014 y Maryna Viazovska en 2022. Su trayectoria pasa por Francia: nacida en Guilin, formada en la Universidad de Pekín y luego en la École Polytechnique, adonde llega sin hablar una palabra de francés, obtiene una maestría en la Universidad París-Saclay antes de doctorarse en el MIT. Hoy enseña en Nueva York y en el Instituto de Altos Estudios Científicos, en el campus de París-Saclay.

Todo parte de un problema que cabe en una frase. En 1917, el japonés Sōichi Kakeya pregunta cuál es la superficie más pequeña dentro de la cual una aguja puede dar una vuelta completa sobre sí misma. La respuesta, descubierta en la década de 1920 por Abram Besicovitch, desafía la intuición: esa superficie puede hacerse tan pequeña como se quiera. Existen incluso conjuntos de área nula, polvo sin ningún peso medible, que sin embargo contienen un segmento en todas las direcciones posibles. El volumen, dicho de otro modo, no tiene suelo.

Lo que resiste es otra cosa: la estructura. Un hilo, una hoja de papel y una caja no están construidos de la misma manera, y los matemáticos miden esa diferencia con un número, la dimensión: uno para el hilo, dos para la hoja, tres para la caja. La conjetura de Kakeya afirmaba que un conjunto que contiene todas las direcciones puede perder casi toda su materia, pero nunca su estructura. Piense en un erizo de mar, el chadwon de nuestras playas. Colóquelo sobre la mesa en cualquier posición: siempre quedarán púas erguidas hacia arriba, porque sus púas apuntan en todas las direcciones. Por eso no se lo puede aplanar entre las páginas de un libro sin romper nada. El conjunto de Kakeya es un erizo llevado al extremo: casi sin cuerpo, pero con una aguja en cada dirección posible. Se le puede quitar casi toda la materia: las agujas permanecen, y unas agujas que apuntan en todas las direcciones nunca cabrán de plano en una hoja. La intuición es sencilla; convertirla en una demostración rigurosa es otra cosa muy distinta. En febrero de 2025, junto con el canadiense Joshua Zahl, Hong Wang dio la demostración para el espacio de tres dimensiones, y cerró así, para ese espacio, una conjetura nacida del problema de 1917; la cuestión sigue abierta en las dimensiones superiores. El resultado consolida un campo del análisis matemático estrechamente vinculado al estudio de las ondas y al procesamiento de señales; sus eventuales repercusiones tecnológicas siguen siendo indirectas y de largo plazo.

El volumen se comprime, la estructura resiste

Lo que la geometría acaba de establecer puede trasladarse, con prudencia, a un experimento mental económico. Ningún teorema viaja tal cual de un espacio matemático a una sociedad. Pero la forma de este bien vale el rodeo.

Sustituyamos las direcciones geométricas por direcciones productivas: producir energía, transformar una cosecha, escribir un programa informático, asegurar un riesgo, formar a un ingeniero. Sustituyamos la superficie por el tamaño de la economía. La pregunta de Kakeya se convierte entonces en esta: ¿cuál es la estructura mínima de un sistema productivo capaz de cubrir todas las direcciones, es decir, de sostener en ellas una oferta y una competencia efectivas?

La lección tendría dos caras. La primera parece una buena noticia: la pequeñez del volumen no impide la completitud de las direcciones. El conjunto de Besicovitch no pesa nada y, sin embargo, apunta a todas partes. La analogía invita así a pensar que una economía puede ser pequeña y cubrir un espectro amplio de capacidades; sería una cuestión de arquitectura, no de masa. La segunda cara es una advertencia: si existe un suelo, no es volumétrico, es estructural. Por debajo de cierto grado de riqueza direccional (número de capacidades dominadas, densidad de proveedores sustituibles, profundidad de los mercados), algo se desajusta: cada dirección que falta se convierte en una dependencia, y cada actividad privada de competencia o de regulación efectiva puede convertirse en una renta.

Cubrir una dirección no significa, por lo demás, producirlo todo uno mismo. Ninguna economía vive en autarquía, y la especialización internacional sigue siendo racional, sobre todo para una economía pequeña y abierta. Cubrir una dirección es garantizar el acceso a ella. Algunas capacidades deben existir en el propio país: la energía, la logística básica, el capital humano, las instituciones, una parte del financiamiento. Otras pueden obtenerse mediante el comercio, a condición de no depender ni de un proveedor único, ni de un corredor único, ni de una tecnología única. El hueco, en esta lectura, no es la actividad ausente: es la dependencia sin sustituto.

Esta intuición coincide con una literatura bien asentada. Los trabajos de Ricardo Hausmann y de César Hidalgo indican que la diversidad y la sofisticación de las capacidades de un tejido productivo informan sobre el nivel de ingreso de un país y sobre sus perspectivas de crecimiento, más allá de su mero tamaño. El rodeo por Kakeya añade una hipótesis: la de un umbral crítico por debajo del cual la eficiencia no se degrada progresivamente, sino que se desploma. Podría llamarse, en un juego serio, la conjetura de Kakeya económica: todo sistema productivo capaz de responder al conjunto de las direcciones de la demanda posee una complejidad mínima incompresible, en gran medida independiente de su tamaño. Demostrarla exigiría definir la dimensión de un tejido productivo. Es un programa de investigación, no un resultado. Desplaza, al menos, la cuestión estratégica del cuánto al cómo: para Haití, la prioridad no sería ganar tamaño primero, sino completar la cobertura (energía, logística, financiamiento, competencias), a pequeña escala si hace falta, pero sin huecos.

Una decisión de Estado

La trayectoria de Hong Wang habla directamente a las estudiantes de secundaria haitianas. No narra la historia de un genio fulminado por la gracia, sino la de un recorrido construido: maestros, una década de paciencia sobre un mismo problema, dudas superadas. Un problema planteado por un japonés, volteado por un ruso, cerrado por una china formada en Francia: la geometría no pide pasaporte. Las matemáticas figuran, en varias de sus ramas, entre las ciencias que menos equipamiento requieren: papel, tiempo, acceso a las revistas, profesores exigentes y el derecho a equivocarse durante mucho tiempo. No por ello dejan de exigir instituciones estables y carreras protegidas. Nada de eso está fuera del alcance de un país pobre. Lo que falta es de otro orden.

Existen, sin embargo, algunas señales. El Fondo BRH para la Investigación y el Desarrollo, con el que el banco central, el Banco de la República de Haití (BRH), financia desde 2020 proyectos de investigación científica, merece reconocimiento: una institución monetaria que invierte en la producción de conocimiento toma una decisión poco común, y acertada. Las gestiones de la rectoría de la Universidad del Estado de Haití para dotar al país de nuevos programas de maestría van en la misma dirección y merecen ser alentadas. Pero estas iniciativas siguen siendo lo que son: esfuerzos de instituciones que hacen, cada una dentro de los límites de su mandato, lo que una política nacional todavía no ha asumido.

Porque la lección de Kakeya vale también aquí. La ciencia es una de esas direcciones que una economía no puede dejar descubiertas sin pagar, tarde o temprano, el precio de la dependencia. Y cubrir una dirección nunca es asunto de un actor aislado: es una decisión de estructura, y las decisiones de estructura se toman en el más alto nivel del Estado. Una política nacional de ciencia, dotada de un financiamiento estable, inscrita en el largo plazo, inmune a las alternancias, capaz de abrir a los jóvenes, y ante todo a las jóvenes, itinerarios científicos completos desde la secundaria hasta el doctorado: eso es lo que separaría las señales de hoy de una verdadera elección.

Al chadwon de nuestras playas no lo protegen ni su tamaño ni su peso: lo protegen sus púas. Una economía, a su manera, obedece a la misma lógica. Haití puede seguir siendo pequeño; lo que no puede permitirse es ser un erizo sin agujas. Este país, por lo demás, está bien situado para saberlo. En 1804, una colonia arruinada por la guerra, cercada por imperios esclavistas, cubrió la dirección que todas las potencias de su tiempo dejaban vacía: la de la libertad universal. No fue una cuestión de volumen; fue una cuestión de estructura. Dos siglos después, la misma ley vale para el conocimiento. Las naciones no pesan por su masa: pesan por las direcciones que se niegan a abandonar. La ciencia es una de ellas, y nadie vendrá a cubrirla en nuestro lugar. Que el Estado la inscriba en la ley, en el presupuesto y en el largo plazo, y una estudiante de secundaria de Puerto Príncipe, de Los Cayos o de Cabo Haitiano podrá empezar aquí mismo el camino que llevó a Hong Wang de Guilin a Filadelfia. El mundo no esperará a Haití. Nada impide, sin embargo, que Haití vuelva a apuntar en todas las direcciones del mundo.