L’aiguille de Kakeya : ce qu’une médaille Fields peut dire à l’économie haïtienne

La mathématicienne Hong Wang a reçu le 23 juillet, à Philadelphie, la médaille Fields, notamment pour ses travaux ayant conduit, avec Joshua Zahl, à la résolution de la conjecture de Kakeya dans l’espace à trois dimensions. Sous son apparence de casse-tête, ce résultat porte une idée qui concerne directement les petites économies : on peut comprimer la taille d’un système, jamais sa structure.

Une vieille question d’économistes

L’économie politique traîne depuis ses origines une question de taille. Adam Smith notait déjà que la division du travail est limitée par l’étendue du marché. Les théoriciens du développement des années 1940 et 1950, de Paul Rosenstein-Rodan à Ragnar Nurkse, ont bâti sur cette idée : un marché intérieur étroit freinerait l’industrialisation, faute de débouchés suffisants, et c’est en pensant aux Antilles que W. Arthur Lewis, futur prix Nobel, posait dès 1950 la question de l’industrialisation des très petites économies. L’analyse économique haïtienne en a gardé la trace : Gérard Pierre-Charles consacrait, dans L’économie haïtienne et sa voie de développement, des pages à l’étroitesse du marché local. La mondialisation a fourni la réplique classique : dans une économie ouverte, un pays ne produit pas pour son seul marché, il produit pour le monde, et la taille intérieure cesse d’être une fatalité. L’objection est forte. Elle déplace pourtant la question plus qu’elle ne la clôt : si la taille n’est pas la contrainte décisive, qu’est-ce qui l’est ? C’est précisément une question de cette forme, posée dans le langage de la géométrie, qui vient de valoir à une jeune femme la plus haute distinction des mathématiques.

Une aiguille, un siècle, une femme

Le 23 juillet 2026, au Congrès international des mathématiciens réuni à Philadelphie, la Chinoise Hong Wang, trente-cinq ans, a reçu la médaille Fields, attribuée tous les quatre ans à des chercheurs de moins de quarante ans. Elle est la troisième femme à la recevoir, après Maryam Mirzakhani en 2014 et Maryna Viazovska en 2022. Son parcours passe par la France : née à Guilin, formée à l’Université de Pékin puis à l’École polytechnique, où elle arrive sans parler un mot de français, elle obtient un master à l’Université Paris-Saclay avant un doctorat au MIT. Elle enseigne aujourd’hui à New York et à l’Institut des hautes études scientifiques, sur le campus de Paris-Saclay.

Tout part d’un problème qui tient en une phrase. En 1917, le Japonais Sōichi Kakeya demande quelle est la plus petite surface dans laquelle une aiguille peut faire un tour complet sur elle-même. La réponse, découverte dans les années 1920 par Abram Besicovitch, défie l’intuition : cette surface peut être rendue aussi petite que l’on veut. Il existe même des ensembles de superficie nulle, des poussières sans aucun poids mesurable, qui contiennent pourtant un segment dans toutes les directions possibles. Le volume, autrement dit, n’offre aucun plancher.

Ce qui résiste, c’est autre chose : la structure. Un fil, une feuille de papier, une boîte ne sont pas bâtis de la même façon, et les mathématiciens mesurent cette différence par un nombre, la dimension : un pour le fil, deux pour la feuille, trois pour la boîte. La conjecture de Kakeya affirmait qu’un ensemble contenant toutes les directions peut perdre presque toute sa matière, mais jamais sa structure. Pensez à un oursin, le chadwon de nos plages. Posez-le sur la table dans n’importe quelle position : il restera toujours des piquants dressés vers le haut, parce que ses piquants pointent dans tous les sens. C’est pour cela qu’on ne peut pas l’aplatir entre les pages d’un livre sans rien casser. L’ensemble de Kakeya est un oursin poussé à l’extrême : presque pas de corps, mais une aiguille dans chaque direction possible. On peut lui retirer presque toute sa matière, les aiguilles demeurent, et des aiguilles pointées dans tous les sens ne tiendront jamais à plat dans une feuille. L’intuition est simple ; en faire une démonstration rigoureuse est une tout autre affaire. En février 2025, avec le Canadien Joshua Zahl, Hong Wang en a donné la démonstration pour l’espace à trois dimensions, refermant, pour cet espace, une conjecture née du problème de 1917 ; la question demeure ouverte dans les dimensions supérieures. Le résultat consolide un domaine de l’analyse mathématique étroitement lié à l’étude des ondes et du traitement des signaux ; ses retombées technologiques éventuelles demeurent indirectes et de long terme.

Le volume se comprime, la structure résiste

Ce que la géométrie vient d’établir peut se transposer, avec prudence, en une expérience de pensée économique. Aucun théorème ne voyage tel quel d’un espace mathématique vers une société. Mais la forme de celui-ci mérite le détour.

Remplaçons les directions géométriques par des directions productives : produire de l’énergie, transformer une récolte, écrire un logiciel, assurer un risque, former un ingénieur. Remplaçons la surface par la taille de l’économie. La question de Kakeya devient alors : quelle est la structure minimale d’un système productif capable de couvrir toutes les directions, c’est-à-dire d’y soutenir une offre et une concurrence effectives ?

La leçon aurait deux faces. La première ressemble à une bonne nouvelle : la petitesse du volume n’interdit pas la complétude des directions. L’ensemble de Besicovitch ne pèse rien et pointe pourtant partout. L’analogie invite ainsi à penser qu’une économie puisse être petite et couvrir un spectre étendu de capacités ; ce serait une affaire d’architecture, non de masse. La seconde face est un avertissement : si un plancher existe, il n’est pas volumétrique, il est structurel. En dessous d’un certain degré de richesse directionnelle, nombre de capacités maîtrisées, densité de fournisseurs substituables, épaisseur des marchés, quelque chose se dérègle : chaque direction manquante devient une dépendance, et chaque activité privée de concurrence ou de régulation effective peut devenir une rente.

Couvrir une direction ne signifie pas, du reste, tout produire soi-même. Aucune économie ne vit en autarcie, et la spécialisation internationale demeure rationnelle, surtout pour une petite économie ouverte. Couvrir une direction, c’est en garantir l’accès. Certaines capacités doivent exister sur place : l’énergie, la logistique de base, le capital humain, les institutions, une partie du financement. D’autres peuvent s’obtenir par le commerce, à condition de ne dépendre ni d’un fournisseur unique, ni d’un corridor unique, ni d’une technologie unique. Le trou, dans cette lecture, n’est pas l’activité absente : c’est la dépendance sans substitut.

Cette intuition rejoint une littérature bien établie. Les travaux de Ricardo Hausmann et de César Hidalgo indiquent que la diversité et la sophistication des capacités d’un tissu productif renseignent sur le niveau de revenu d’un pays et sur ses perspectives de croissance, au-delà de sa seule taille. Le détour par Kakeya y ajoute une hypothèse : celle d’un seuil critique en dessous duquel l’efficacité ne se dégrade pas progressivement mais s’effondre. On pourrait l’appeler, par jeu sérieux, la conjecture de Kakeya économique : tout système productif capable de répondre à l’ensemble des directions de la demande possède une complexité minimale incompressible, largement indépendante de sa taille. La démontrer supposerait de définir la dimension d’un tissu productif. C’est un programme de recherche, non un résultat. Il déplace au moins la question stratégique du combien vers le comment : pour Haïti, la priorité ne serait pas de grossir d’abord, mais de compléter la couverture, énergie, logistique, financement, compétences, à petite échelle s’il le faut, mais sans trou.

Une décision d’État

Le parcours de Hong Wang parle directement aux lycéennes haïtiennes. Il ne raconte pas un génie foudroyé par la grâce, mais une trajectoire construite : des maîtres, une décennie de patience sur un même problème, des doutes traversés. Un problème posé par un Japonais, retourné par un Russe, refermé par une Chinoise formée en France : la géométrie ne demande pas de passeport. Les mathématiques comptent, dans plusieurs de leurs branches, parmi les sciences les moins coûteuses en équipement : du papier, du temps, l’accès aux revues, des enseignants exigeants et le droit de se tromper longtemps. Elles n’en exigent pas moins des institutions stables et des carrières protégées. Rien de tout cela n’est hors de portée d’un pays pauvre. Ce qui manque est d’un autre ordre.

Des signaux existent pourtant. Le Fonds BRH pour la Recherche et le Développement, par lequel la banque centrale finance depuis 2020 des projets de recherche scientifique, mérite d’être salué : une institution monétaire qui investit dans la production de connaissances fait un choix rare, et juste. Les démarches du rectorat de l’Université d’État d’Haïti pour doter le pays de nouveaux programmes de master vont dans le même sens et méritent d’être encouragées. Mais ces initiatives demeurent ce qu’elles sont : des efforts d’institutions qui font, chacune dans les limites de son mandat, ce qu’une politique nationale n’a pas encore pris en charge.

Car la leçon de Kakeya vaut ici aussi. La science est l’une de ces directions qu’une économie ne peut laisser découvertes sans payer, tôt ou tard, le prix de la dépendance. Et couvrir une direction n’est jamais l’affaire d’un acteur isolé : c’est une décision de structure, et les décisions de structure se prennent au plus haut niveau de l’État. Une politique nationale de la science, dotée d’un financement stable, inscrite dans la durée, insensible aux alternances, capable d’ouvrir aux jeunes, et d’abord aux jeunes filles, des filières scientifiques complètes du secondaire au doctorat : voilà ce qui séparerait les signaux d’aujourd’hui d’un choix véritable.

Le chadwon de nos plages n’est protégé ni par sa taille ni par son poids : il est protégé par ses piquants. Une économie, à sa manière, obéit à la même logique. Haïti peut rester petite ; elle ne peut pas se permettre d’être un oursin sans aiguilles. Ce pays est d’ailleurs bien placé pour le savoir. En 1804, une colonie ruinée par la guerre, cernée d’empires esclavagistes, a couvert la direction que toutes les puissances de son temps laissaient vide : celle de la liberté universelle. Ce ne fut pas une affaire de volume ; ce fut une affaire de structure. Deux siècles plus tard, la même loi vaut pour la connaissance. Les nations ne pèsent pas par leur masse : elles pèsent par les directions qu’elles refusent d’abandonner. La science est l’une d’elles, et personne ne viendra la couvrir à notre place. Que l’État l’inscrive dans la loi, dans le budget et dans la durée, et une lycéenne de Port-au-Prince, des Cayes ou du Cap-Haïtien pourra commencer ici même le chemin qui a mené Hong Wang de Guilin à Philadelphie. Le monde n’attendra pas Haïti. Rien n’interdit pourtant à Haïti de pointer, de nouveau, dans toutes les directions du monde.